光学应用范例

应用1：检测器系统

每一个光学系统在完成前都需要经过初步设计这一阶段。虽然初步设计阶段往往是令人觉得最困难的一环，但是识别系统的数个重要规格能够帮助您制定一个初步计划。以下问题将说明简单的检测器或发射器系统的设计流程。

目标：光源会往哪个方向移动？

虽然简单的透镜经常用于成像应用中，然而在大多数情况下，它们的主要目的是在系统内将一处的光源投影至另一处。几乎所有的发射器、检测器、激光和光纤在进行此类光源操作时都需要使用透镜。在确定设计哪种类型的系统之前，必须先对“光源会往哪个方向移动？”这一重要问题作出回答。如果该系统的设计目的是为了让所有入射光都进入检测器内，以及尽可能减少像差，那么简单的单片透镜如平凸(PCX)透镜或双凸(DCX)透镜便可以应用于系统中。

PCX Lens as FOV Limit in Detector Application

图1： PCX透镜在检测器应用中作为FOV限制

图1显示了PCX透镜以及数个重要的规格：透镜直径(D₁)和焦距(f)。图1还说明了检测器的直径如何限制了系统的视场(FOV)，如与其相似的全视场所示：

(1.1)$$ \text{FFOV} = \frac{D_2}{f} $$

或正如方程式所示：

(1.2)$$ \text{FFOV} = 2 \tan^{-1}{\left( \frac{D_2}{2f} \right)} $$

对于使用于扫描系统中的检测器，最重要的测量就是瞬时视场(IFOV)，即扫描过程中检测器随时所对的角度。

(1.3)$$ \text{IFOV} = \frac{\text{Pixel Size}}{f} $$

图2：瞬时视场

PCX Lens as FOV Limit in Emitter Application

图3： PCX透镜在发射器应用中作为FOV限制

换个方向思考，图1还可以表示一个使用透镜将光源对准的发射系统（图3）。这项设置将会是此应用范例的前提设置。

光透射：最初存在多少光源？

掌握光源的去向是设计光源投影系统的第一步，就如了解有多少光线从物体或光源透射出来一样重要。光源的透射性能是基于检测器接收了多少光源，这就回答了“最初存在多少光源？”的问题。透镜的数值孔径(NA)和光圈数(f/#)根据f、D、折射率(n)和接收角(θ)来测量检测器可收集到的光量。图4说明了f/#和NA之间的关系。

图4： DCX透镜展示f/#和NA

同样地，它们之间的关系也能够根据方程式1.5以数学的方法表示。要注意的是，直径越大，f/#就越小，使得更多的光源能够进入系统。为了构建高性能的系统，最好的方式就是将光源的发射光锥与透镜的接收锥相匹配，这样便可以避免光源在透镜面积内过溢或未充满的问题。

(1.4)$$ f/\# = \frac{f}{D} $$

(1.5)$$ \text{NA} = \frac{1}{2 \times f/\#} $$

(1.6)\begin{align} \text{NA} & = n \, \sin{\theta} \\ & \approx n \theta \end{align}

光通量：有多少光源通过系统？

当使用透镜作为工具将光源从发射器传输至检测器时，将光通量(TP)，即透射光能量的量化衡量标准列为考虑因素是极为重要的。换言之，在对“有多少光源通过系统？”这一问题作出回答时，其答案就已确定了所使用的透镜几何以及系统的配置。由于发射器和检测器属于光源面积而不是点光源，因此即使直径和焦距（以f/#表示）之间的比率保持不变，透镜的直径仍然会对光通量产生影响。

图5显示了如方程式1.7所表示的光通量(TP)的基本定义。如图所示，A为物体面积（光源)、Ω为立体角以及z为物距（以及其共轭在图像空间则为A'、Ω'和z'）。

图5：DCX透镜说明光通量

(1.7)$$ \text{TP} = n^2 A \Omega $$

立体角定义为 Ω = A/r²，即透镜表面的面积和半径(r)是透镜和物体(z)或透镜和图像平面(z')之间的距离，分别以Ω或Ω'表示。

光晕可以减少到达检测器的光量，这是由于孔径限制而导致光源在系统内被物理拦截所产生的结果。由于光晕能够消除可能会影响图像质量的杂散光，因此系统能够从有些刻意制造的光晕中获得好处。要注意的是，以正确的方式对系统进行调整可以减少杂散光和非刻意制造的光晕。

像差：图像的质量如何？

在系统设计中，确定通过系统的光量是极为重要的，但是系统内的像差也扮演着重要角色。在对“图像的质量如何？”这一问题作出回答时，您可以借此机会改善系统的设计，以减少像差和提高图像质量。像差是任何光学系统中固有的错误，不论系统的制造或调整为何。既然像差存在于每一个光学系统中，那么在系统性能和成本之间取得平衡对每一位设计师而言都是重要的决定。设计师可以采用大光圈来减少数个基本像差如彗差（放大倍率或图像尺寸与孔径之间的变化）、球差（光线聚焦在近轴焦点前或近轴焦点后）以及像散（焦点分别在水平光线和垂直光线上）对成像的影响，如以下方程式所示。

(1.8)$$ \text{Spherical} \propto \frac{1}{\left( f / \# \right)^3} $$

(1.9)$$ \text{Coma} \propto \frac{1}{\left( f/\# \right)^2} $$

(1.10)$$ \text{Astigmatism} \propto \frac{1}{\left( f / \# \right)} $$

应用范例：检测器系统

举例来说，有一个系统的光源是从直径为¼"的光纤光导发射，如图3所示。

初始参数
光导数值孔径 = 0.55
光源（发射器）直径 = 6.35mm
空气折射率 = 1
计算参数
光圈数(f/#)

(1.11)\begin{align} \text{NA} & = \frac{1}{2 \times \left( f /\# \right)} \\ 0.55 & = \frac{1}{2 \times \left( f /\# \right)} \\ f /\# & = 0.9 \end{align}

光圈设置为f/1的PCX透镜表示其f/#为1，意味着此透镜非常适合放置于光导前以尽可能使光源对准。根据方程式1.4，若f/#为1，则透镜的直径和焦距的数值是相同的。换言之，如果考虑使用直径为12mm的透镜，则透镜的焦距同样也是12mm。

全视场(FFOV)

(1.12)\begin{align} \text{FFOV} & = \frac{D_2}{f} \\ \text{FFOV} & = \frac{D_{\text{Source}}}{f_{\text{Lens}}} \\ & = \frac{6.35 \text{mm}}{12 \text{mm}} = 0.529 \text{ radians} \end{align}

(1.13)\begin{align} A_{\text{Source}} & = \pi r^2 \\ & = \pi \left( \frac{6.35 \text{mm}}{2} \right)^2 = 31.669 \text{mm}^2 \end{align}

(1.14)\begin{align} A_{\text{Lens}} & = \pi r^2 \\ & = \pi \left( \frac{12 \text{mm}}{2} \right)^2 = 113.097 \text{mm}^2 \end{align}

(1.15)\begin{align} \Omega & = \frac{A_{\text{Lens}}}{r^2} \\ & = \frac{113.097 \text{mm} ^2}{\left( 12 \text{mm} \right)^2} = 0.7854 \text{ steradians} \end{align}

由于透镜从边缘至边缘的角度是以二维形式表示，所以球面度与三维空间内的二维角度对应。发射器和透镜之间的距离较短，或透镜的直径较大，则获得较高的球面度。立体角的最大数值为4π或约12.57，这相等于所有空间的立体角数值。

为了计算此系统的光通量(TP)，我们首先需要计算出光源面积（方程式1.11）、透镜面积（方程式1.12）以及立体角（方程式1.13）。从扩散光源（即此例子中的光导）中对准光线的最好方法就是将透镜放置于与焦距和光源之间距离相同的距离。

(1.16)\begin{align} \text{TP} & = n^2 A \Omega \\ & = \left( 1 \right) \left( 31.669 \text{mm}^2 \right) \left( 0.7854 \text{ steradians} \right) \\ & = 24.873 \text{mm}^2 \, \text{ steradians} \end{align}

由于系统位于自由空间内，而n大约为1，因此n²并不包括在最终的计算因素内。

应用2：选择合适的透镜

高质量图像是低像差的代名词。因此，设计师通常会使用两个或更多的透镜元件，以获得比单个透镜解决方案更高的图像质量。有许多因素是您为应用选择合适透镜时必须考虑在内的：光源类型、空间限制、成本等更多因素。

图6a至6e对各种中继透镜系统，或1:1成像应用进行了比较。通过以下各系统比较的具体实例中，我们可以了解到所选透镜的固有几何以及光学件属性如何对图像质量产生影响。

图6a： DCX透镜中续系统：25mm EFL x 20mm入射瞳孔直径（左边是彩色，右边是单色）

图6b： PCX透镜中续系统：50mm EFL x 20mm入射瞳孔直径（左边是彩色，右边是单色）

图6c：消色差透镜中续系统：50mm EFL x 20mm入射瞳孔直径（左边是彩色，右边是单色）

图6d：非球面消色差透镜中续系统：50mm EFL x 50mm入射瞳孔直径（左边是彩色，右边是单色）

图6e：非球面透镜中续系统：50mm EFL x 40mm入射瞳孔直径（左边是彩色，右边是单色）

应用范例：单元件透镜系统

双凸(DCX)透镜因其两侧形状对称而被视为1:1成像应用的最佳单元件选择。此外，透镜两面具备相等功耗，而不像是平凸(PCX)透镜般一面所折射的光源比另一面多。由于透镜系统仅由一个镜头所构成，因此孔径光阑基本上就是可减少许多像差的透镜。基于上述原因，相比较于单个PCX透镜，DCX透镜更适合用于1:1成像应用中。但是，您必须切记的是，若透镜具有低f/#，成像还是会产生明显的球面像差和彗差。这些像差是由单透镜的形状因素所产生的：

(2.1)$$ S = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1} $$

当 R₁和 R₂是各透镜表面的半径。

对于仅需单个透镜以及其物体或光源位于无穷远的应用，此应用将具备更优秀的形状因素，以减少任何对系统最不利的像差。举例来说，为了减少球面像差，我们可以通过以下方程式计算出最理想的形状因素：

(2.2)$$ S = -\frac{ 2 \left( n^2 - 1 \right) }{n + 2} p $$

(2.3)$$ S = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1} $$

(2.4)$$ p = \frac{z' + z}{z' - z} $$

当n为玻璃基片的折射率、p为方位因素、z为物距（测量得出负数值）以及z'为图像距离（测量得出正数值）。

为了减少位于无穷远的物体的彗差，可以通过以下方程式计算得出形状因素：

(2.5)$$ S = - \frac{\left( 2n^2 - n - 1 \right)}{n + 1} p $$

对于具备折射率为1.5（N-BK7为1.517）以及其物体位于无穷远的玻璃基片，形状因素大约为0.8便可以修正彗差和球差的问题。

应用范例：双元件透镜系统

为了改进系统，可以用两个相同的PCX透镜替换一个单的DCX透镜，每个透镜的焦距是DCX的两倍，中心有一个孔径光阑。这样做可以分离透镜每个表面的光焦度，因为焦距与焦度成反比。由于每个透镜的焦度较小，因此系统中产生的球差较小。通过使用两个透镜，每个表面的光焦度增加，总焦距相同，但球面像差更小。由于直径也保持不变，因此f /＃在使用单个DCX或两个PCX透镜之间没有变化，但即使f /＃很大，球面像差也会降低。

两个凸面几乎相接触，而孔径光阑则位于两个凸面之间。因此，高质量图像能够通过将凸面朝向最长共轭距离放置来实现。

应用范例：消色差透镜系统

另一个选择是使用消色差透镜。消色差透镜是一种由正低折射率（冕牌）和负高折射率（火石）这两种光学组件胶合而成的透镜。使用消色差透镜可以改善成像的色差（多个波长范围的白光源），以及减少球面像差和彗差。若两个消色差透镜的凸面相互朝向对方，则可大幅度地减少许多像差，与使用单个透镜（不论是DCX透镜或是两个PCX透镜）的系统相比更能实现极为卓越的成像系统。同时，由于球差在大孔径或高f/#时被忽略，因此使用消色差透镜将能够显著减少色差。市面上有许多中继透镜系统均采用此四元件配置。

更多有关使用消色差透镜比单片透镜所获得的好处的信息，请参阅为什么使用消色差透镜？。

应用范例：非球面透镜系统

有别于采用球面设计的PCX、DCX和消色差透镜，非球面透镜具有曲率，但是其曲率有别于球面镜或柱面镜，通常采用双曲线或抛物线设计。非球面透镜的主要概念是透镜的曲率半径会随透镜光轴变化，呈放射状。因此，非球面透镜可以轻易地修正球面像差，同时也是修正轴外像差的最佳选择。

由于单个非球面透镜可以取代两个或更多的球面透镜，因此非球面透镜常使用于许多系统，从而减少了系统内的空间和成本。更多有关非球面透镜的制造、设计和用途的信息，请参阅所有关于非球面透镜。

透镜系统类型	球差	色差
DCX单片透镜	高	高
两个PCX透镜	中等	高
两个消色差透镜	低	可忽略
两个非球面消色差透镜	可忽略	可忽略

应用3：构建投影系统

设计定制的投影系统往往是成本昂贵且费时的。虽然如此，您还是可以通过几个简单的步骤来简化整个设计流程，并使其更具成本效益。下面列出的数个基本步骤可以应用于许多系统设计应用中。

定制设计步骤：

将系统拆分成数个部分 – 光学应用种类繁多，从简单的放大镜到激光光束调节器，应有尽有。此外，大部分的应用都可以拆分成可独立开发的较小模块。
对系统的每个部分分别进行设计 – 对每个模块分别进行设计可以使系统的每个部分获得最佳性能，从而提高系统的整体性能。因此，当您在对不同的模块进行设计时，您必须对整个系统非常了解，这样个别的模块优化才不会对系统中的另一个模块的设计产生负面的影响。
计算机优化 – 完成初始尺寸计算后，将该设计放入如ZEMAX或Code V等透镜设计软件是单独优化模块或是整体设计的最佳方法。对每个系统模块进行优化能够为设计师提供最佳的案例场景，从而使设计师可以对每个系统模块选择最合适的安装组件。设计师还可以通过这个步骤对整个设计进行重复检查，确保计算得出合理的数据。
装配系统 – 每个模块完成设计后，设计师将会对整个系统进行构建。将所有模块按设计要求组装成系统之前，请对每个模块进行检查，确保它们运作正常。系统构建完成后，建议将整个系统运行于透镜设计软件，以确保所有模块能够相互陪护运行于系统。
选择组件 – 大部分的透镜设计软件均包括透镜库存规格资料库和最近邻算法，有助于您为定制组件选择合适的透镜和物品。透镜设计软件优化得出的玻璃编号可能并不存在，但是最近邻算法将会为您计算出与现货库存最相近的玻璃类型。除了选择合适的玻璃之外，为您的系统选择合适的机械结构件也是重要的一个步骤。在选择透镜固定器和对系统进行安装之前，您必须把结构件的尺寸、重量，形状考虑在内。

更多有关选择玻璃的信息，请参阅光学玻璃。

大部分传统幻灯片投影器都配有两个主要模块：聚光镜系统和投影镜系统。聚光镜系统将照明均匀地聚集在幻灯片上，而投影镜系统则将幻灯片的图像投影在屏幕上。每一个模块都是由简单的组件和方法构建而成。直径为25mm，具备大孔径和广泛焦距选择的光学件将用于此范例中。

第一部分：投影镜系统

投影镜系统受限于预期的放大倍率和光网图像的投影距离。由于大部分投影系统均采用白光源，因此在系统中使用消色差透镜将能够最佳质量的图像。有两点是选择消色差透镜时必须考虑的，那就是投影图像和投影透镜系统的距离，以及预期的放大倍率。放大倍率可以通过计算透镜的焦距得出（方程式3.1）或是通过计算图像和物体之间的距离（方程式3.2）得出。

(3.1)$$ M = \frac{F_2}{F_1} $$

(3.2)$$ M = \frac{I}{O} $$

第二部分：聚光镜系统

聚光镜系统从扩散照明光源中收集光线，然后转折光线并聚集光线，使光线充满投影镜系统。如图7所示，传统的聚光镜系统是由两个凸面面对面安装的PCX透镜构成。第一个透镜收集照明器（物体或投影器）的扩散光源锥，第二个透镜则作为会照明光网的聚光锥（图像）将光源输出。

图7：基本投影系统

投影镜解决方案间接地确立了聚光镜系统的设计，这就是先设计投影镜系统是至关重要的一环的原因。此外，聚光镜系统和投影镜系统之间的距离并不低于光网和投影镜系统之间的距离。

应用范例：设计投影系统

初始参数
透镜直径 = 25mm
图像距离 = 投影距离 = 250mm
放大倍率 = 2.5X
计算参数
物体距离或光网距离

(3.3)\begin{align} M & = \frac{F_2}{F_1} \\ 2.5 & = \frac{250 \text{mm}}{F_1} \\ F_1 & = \frac{250 \text{mm}}{2.5} = 100 \text{mm} \end{align}

两个焦距为100mm，直径为25mm的消色差透镜是构建投影镜系统理想选择。直径为25mm的透镜的优势在于具备大孔径和与机械组件的兼容性，以及广泛的镀膜和焦距选择。

PCX聚光镜的焦距

(3.4)\begin{align} M & = \frac{F_2}{F_1} \\ F_2 & = M \cdot F_1 = \left( 2.5 \text{X} \right) \left( 100 \text{mm} \right) = 250 \text{mm} \end{align}

完整的透镜系统需要两个焦距为250mm，直径为25mm的PCX透镜。

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